2013–2020

Karatsev lần đầu tham dự vòng đấu chính ATP tại giải St. Petersburg Open 2013 nơi anh được đặc cách. Ở vòng 1 anh thua trước tay vợt đồng hương và hạt giống số 8 Mikhail Youzhny, 7–6(7–5), 2–6, 2–6. Ở nội dung đôi, anh và Dmitry Tursunov vào vòng bán kết, thua trước Dominic Inglot và Denis Istomin, 4–6, 7–5, [9–11]. Năm 2015, anh thắng trận đấu vòng đấu chính ATP đầu tiên tại giải Kremlin Cup, đánh bại Youzhny.[11]

Theo bố của Karatsev, con trai ông ở tuổi 19 được huấn luyện bởi Dmitry Tursunov, người đã đưa anh tới Halle, Đức để đào tạo ở đó trong vài tháng nhưng đã trở lại do thiếu tiền để tiếp tục. Sau đó chính học viện Đức đã mời Aslan trở lại Halle. Anh đã được đào tạo ở đó trong 2 năm, sau đó bị chấn thương và không thể thi đấu trong 2 năm. Anh sau đó chuyển đến Barcelona. Tại đây, anh tập luyện tại Bruguera Tennis Academy chưa đầu 2 năm.[12]

Sau khi tìm kiếm các cơ hội huấn luyện tốt hơn ở Tây Ban Nha và Đức, vào năm 2019, Karatsev đã thuê huấn luyện viên mới, Yahor Yatsyk đến từ Minsk. Yatsyk, một cựu vận động viên quần vợt chuyên nghiệp hơn anh 1 tuổi,[13] từ huấn luyện cho Nikoloz Basilashvili.[14] Trong đại dịch COVID-19, Karatsev thi đấu các trận giao hữu ở Hoa Kỳ.

Ở giải St. Petersburg 2020, Karatsev thắng tay vợt trong top 50 đầu tiên trước Tennys Sandgren.

2021: Bức đột phá, Bán kết Úc Mở rộng, danh hiệu đơn và đôi đầu tiên

Karatsev lần đầu tham dự Grand Slam tại Giải quần vợt Úc Mở rộng 2021 sau khi vượt qua vòng loại đánh bại Brandon Nakashima, Max Purcell và Alexandre Müller. Tại đây, anh đã có chiến thắng trước tay vợt trong top 10 đầu tiên, sau khi đánh bại hạt giống số 8 và tay vợt số 9 thế giới 9 Diego Schwartzman, trong một trận đấu hiếm hoi giữa 2 tay vợt Do Thái. Anh cũng đánh bại hạt giống số 20 Félix Auger-Aliassime để trở thành tay vợt vượt qua vòng loại đầu tiên vào vòng tứ kết một giải Grand Slam kể từ sau Bernard Tomic tại giải Wimbledon 2011, và là tay vợt đầu tiên vào vòng tứ kết giải Grand Slam ngay lần đầu đàu tham dự kể từ sau Alex Rădulescu tại giải Wimbledon 1996.[15][16] Anh sau đó đánh bại cựu số 3 thế giới (20 tháng 11 năm 2017) Grigor Dimitrov sau 4 set để vào vòng bán kết.[17] Với việc lọt vào vòng bán kết, Karatsev trở thành tay vợt vượt qua vòng loại vào vòng bán kết một giải Grand Slam kể từ sau Vladimir Voltchkov tại giải Wimbledon 2000 và đầu tiên tại Giải quần vợt Úc Mở rộng kể từ sau Bob Giltinan vào năm 1977, tay vợt xếp hạng thấp nhất vào vòng bán kết Grand Slam kể từ sau Goran Ivanišević tại giải Wimbledon 2001, và là tay vợt đầu tiên vào vòng bán kết một giải Grand Slam trong lịch sử Kỷ nguyên Mở.[1][18] Anh sau đó thất bại trươc tay vợt số 1 thế giới và nhà vô địch sau đó Novak Djokovic.[19][20] Sau giải đấu, anh từ vị trí số 114 trên thế giới lên vị trí số 42 thế giới.

Giải đấu tiếp theo của Karatsev là Doha, nơi anh đánh bại Mubarak Shannan Zayid ở vòng 1, nhưng thua trước Dominic Thiem ở vòng 2. Ở nội dung đôi, anh và Andrey Rublev vào vòng bán kết, nơi họ đánh bại Jérémy Chardy và Fabrice Martin. Trong trận chung kết, họ đánh bại Marcus Daniell và Philipp Oswald. Với chức vô địch này, thứ hạng đánh đôi của anh tăng từ vị trí số 447 lên vị trí số 222. Ở Dubai, anh đánh bại Egor Gerasimov, Dan Evans và Lorenzo Sonego để vào vòng tứ kết giải ATP 500 đầu tiên, nơi anh đánh bại Jannik Sinner sau 3 set để vào vòng bán kết giải ATP 500 đầu tiên. Ở vòng bán kết, Karatsev kết thúc chuỗi 23 trận thắng của hạt giống số 2 Andrey Rublev tại các giải ATP 500 để vào trận chung kết đơn đầu tiên. Trong trận chung kết, anh đánh bại Lloyd Harris để giành danh hiệu đầu tiên. Chức vô địch đã giúp Karatsev lần đầu tiên vào top 30 trong sự nghiệp. Anh đã trở thành tay vợt Nga thứ 2 giành được danh hiệu đầu tiên ở tuổi 27 sau Igor Kunitsyn.[21]